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Introducción a la Teoría de las Colas

El estudio matemático de hacer colas (Malte Mueller / Getty Images)
La Teoría de Colas es el estudio matemático de hacer cola o esperar en fila. Las colas contienen clientes (o "elementos"), como personas, objetos o información. Las colas se forman cuando hay recursos limitados para proporcionar un servicio. Por ejemplo, si hay 5 cajas registradoras en una tienda de comestibles, se formarán colas si más de 5 clientes desean pagar sus artículos al mismo tiempo.

Un sistema de cola básico consiste en un proceso de llegada (cómo llegan los clientes a la cola, cuántos clientes están presentes en total), la cola en sí, el proceso de servicio para atender a esos clientes y las desviaciones del sistema.

Los modelos matemáticos de colas a menudo se usan en software y negocios para determinar la mejor manera de usar recursos limitados. Los modelos de cola pueden responder preguntas tales como: ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente espere 10 minutos en línea? ¿Cuál es el tiempo promedio de espera por cliente?

Las siguientes situaciones son ejemplos de cómo se puede aplicar la teoría de colas:

- Esperando en línea en un banco o una tienda
- Esperando a que un representante de atención al cliente responda una llamada después de que la llamada se haya puesto en espera
- Esperando que llegue un tren
- Esperando que una computadora realice una tarea o responda
- Esperando un lavado de autos automatizado para limpiar una fila de autos

Caracterización de un sistema de colas
Los modelos de colas analizan cómo los clientes (incluidas las personas, los objetos y la información) reciben un servicio. Un modelo matemático de colas está integrado por:

1. Proceso de llegada. El proceso de llegada es simplemente cómo llegan los clientes. Pueden entrar en fila solo o en grupos, y pueden llegar en intervalos regulares de tiempo o aleatoriamente.

2. Comportamiento. ¿Cómo se comportan los clientes cuando están en línea? Algunos podrían estar dispuestos a esperar su lugar en la cola; otros pueden impacientarse y marcharse. Sin embargo, otros podrían decidir volver a unirse a la cola más tarde, como cuando se ponen en espera con el servicio al cliente y deciden volver a llamar con la esperanza de recibir un servicio más rápido.

3. Cómo se atiende a los clientes. Esto incluye la cantidad de tiempo que se atiende a un cliente, la cantidad de servidores disponibles para ayudar a los clientes, si se atiende a los clientes uno por uno o en lotes, y el orden en que se atiende a los clientes, también llamado disciplina de servicio. La disciplina de servicio se refiere a la regla mediante la cual se selecciona al próximo cliente. Aunque muchos escenarios de venta minorista emplean la regla de "primero en llegar, primero en ser atendido", otras situaciones pueden requerir otros tipos de servicio. Por ejemplo, se puede atender a los clientes por orden de prioridad, o según la cantidad de artículos que necesiten servicio (como por ejemplo, en un carril exprés en una tienda de comestibles). Algunas veces, el último cliente en llegar se servirá primero (como en el caso de una pila de platos sucios, donde el que está arriba será el primero en lavarse).

4. Sala de espera. La cantidad de clientes que pueden esperar en la cola puede estar limitada en función del espacio disponible.


Matemáticas de la Teoría de Colas
Kendall’s notation is a shorthand notation that specifies the parameters of a basic queuing model. Kendall’s notation is written in the form A/S/c/B/N/D, where each of the letters stand for different parameters. The A term describes when customers arrive at the queue – in particular, the time between arrivals, or interarrival times. Mathematically, this parameter specifies the probability distribution that the interarrival times follow. One common probability distribution used for the A term is the Poisson distribution.

La notación de Kendall es una notación abreviada que especifica los parámetros de un modelo de cola básica. La notación de Kendall está escrita en la forma A / S / c / B / N / D, donde cada una de las letras representa diferentes parámetros. El término A describe cuándo llegan los clientes a la cola  o los tiempos entre llegadas. Matemáticamente, este parámetro especifica la distribución de probabilidad que siguen los tiempos interarrivales. Una distribución de probabilidad común utilizada para el término A es la distribución de Poisson.

El término S describe el tiempo que demora el servicio de un cliente después de que abandona la cola. Matemáticamente, este parámetro especifica la distribución de probabilidad que siguen estos tiempos de servicio. La distribución de Poisson también se usa comúnmente para el término S.

El término c especifica la cantidad de servidores en el sistema de colas. El modelo asume que todos los servidores del sistema son idénticos, por lo que todos pueden describirse por el término S anterior.

El término B especifica la cantidad total de elementos que pueden estar en el sistema e incluye elementos que aún están en la cola y aquellos a los que se presta servicio. Aunque muchos sistemas en el mundo real tienen una capacidad limitada, el modelo es más fácil de analizar si esta capacidad se considera infinita. En consecuencia, si la capacidad de un sistema es lo suficientemente grande, se supone que el sistema es infinito.

El término N especifica el número total de clientes potenciales, es decir, el número de clientes que podrían ingresar al sistema de colas, que pueden considerarse finitos o infinitos.

El término D especifica la disciplina de servicio del sistema de colas, como por orden de llegada o último en entrar primero en salir.

La ley de Little, que fue probada por primera vez por el matemático John Little, establece que el número promedio de artículos en una fila puede calcularse multiplicando la tasa promedio a la que los artículos llegan al sistema por la cantidad promedio de tiempo que pasan en ella. 

En notación matemática, la ley de Little es: L = λW. L es el número promedio de elementos, λ es la tasa promedio de llegada de los elementos en el sistema de cola, y W es la cantidad promedio de tiempo que los artículos pasan en el sistema de cola. La ley de Little asume que el sistema se encuentra en un "estado estable": las variables matemáticas que caracterizan el sistema no cambian con el tiempo.

Aunque la ley de Little solo necesita tres entradas, es bastante general y se puede aplicar a muchos sistemas de colas, independientemente de los tipos de elementos en la cola o del modo en que se procesen los artículos en la cola. La ley de Little puede ser útil para analizar cómo se ha ejecutado una cola durante un tiempo, o para medir rápidamente cómo está funcionando actualmente una cola.

Por ejemplo: una empresa de cajas de zapatos quiere calcular el número promedio de cajas de zapatos almacenadas en un almacén. La empresa sabe que la tasa promedio de llegada de las cajas al almacén es de 1.000 cajas de zapatos al año, y que el tiempo promedio que pasan en el almacén es de aproximadamente 3 meses, o ¼ de un año.

Por lo tanto, el número promedio de cajas de zapatos en el almacén está dado por (1000 cajas de zapatos / año) x (¼ año), o 250 cajas de zapatos.


En resumen
- La teoría de colas es el estudio matemático de hacer cola o esperar en fila.
- Las colas contienen "clientes", como personas, objetos o información. Las colas se forman cuando hay recursos limitados para proporcionar un servicio.
- La teoría de colas se puede aplicar a situaciones que van desde esperar en la cola del supermercado hasta esperar que una computadora realice una tarea. A menudo se usa en aplicaciones de software y comerciales para determinar la mejor forma de usar recursos limitados.
- La notación de Kendall se puede usar para especificar los parámetros de un sistema de colas.
- La ley de Little es una expresión simple pero general que puede proporcionar una estimación rápida de la cantidad promedio de elementos en una cola.


Fuentes:
Beasley, J. E. “Queuing theory.”
Boxma, O. J. “Stochastic performance modelling.” 2008.
Lilja, D. Measuring Computer Performance: A Practitioner’s Guide, 2005.
Little, J., and Graves, S. “Chapter 5: Little’s law.” In Building Intuition: Insights from Basic Operations Management Models and Principles. Springer Science+Business Media, 2008.
Mulholland, B. “Little’s law: How to analyze your processes (with stealth bombers).” Process.st, 2017.

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